О единственности решения систем нелинейных уравнений установившихся режимов электроэнергетических систем в форме баланса мощности
Ключевые слова:
электроэнергетическая система, установившийся режим, баланс мощности, система нелинейных уравнений, единственность решения
Аннотация
В статье рассмотрена задача поиска единственности решения систем нелинейных уравнений установившихся режимов электроэнергетических систем в форме баланса мощности. Представлена математическая постановка задачи и даны выражения для определения потерь мощности при её передачи по линиям электропередачи. Указано, что поставленная задача не имеет единственного решения и для его получения необходимо сформулировать специальный критерий, отражающий физическую сущность процесса потокораспределения мощности в электроэнергетических системах. На основании теоремы Д.К. Максвелла «о распределении токов в электрической цепи постоянного тока» сформулировано утверждение «определения единственности решения систем нелинейных уравнений для произвольных электроэнергетических систем (постоянного и переменного тока)» и сформулирован критерий единственности: минимум модуля суммарных значений потерь мощности. Поставлена задача дискретной оптимизации с использованием сформулированного критерия единственности. В экспериментальной части статьи рассмотрена множественность решений на примере четырёхузловой электроэнергетической системы. Выявлено, что при прямом решении системы нелинейных уравнений установившегося режима получается 18 решений. На основе сформулированного критерия единственности определено физически реализуемое решение.
Литература
1. Идельчик В.И. Расчеты и оптимизация режимов электрических сетей. М.: Энергоатомиздат, 1988, 287 с.
2. Аюев Б.И. и др. Вычислительные модели потокораспределения в электрических системах. М.: Флинта: Наука, 2008, 256 с.
3. Крумм Л.А. Методы оптимизации при управлении электроэнергетическими системами. Новосибирск: Наука, 1981, 319 с.
4. Гуревич Ю.Е., Либова Л.Е., Окин А.А. Расчёты устойчивости и противоаварийной автоматики в энергосистемах. М.: Энергоатомиздат, 1990, 390 с.
5. Milano F. Power System Modelling and Scripting. Springer, 2010, 578 p.
6. Kundur P. Power System Stability and Control. McGraw-Hill, Inc., 1994, 1176 p.
7. Анапольский Л.Ю. Численно-аналитическое исследование электроэнергетических систем. – Известия РАН. Энергетика, 2006, № 4, с. 16–26.
8. Программно-вычислительный комплекс АНАРЭС-2010 [Электрон. ресурс]. URL: https://isem.irk.ru/upload/iblock/f19/f19c24a44598ba28da299ae1f1cf42d3.pdf (дата обращения 08.06.2024).
9. Программный комплекс «RastrWin3». Руководство пользователя, 2020 [Электрон. ресурс]. URL: https://www.rastrwin.ru/download/Files/RastrWin3_2020_10_05.pdf (дата обращения 08.06.2024).
10. Фазылов Х.Ф., Насыров Т.Х. Некоторые вопросы итерационного расчета установившихся режимов электрических систем. – Известия Академии наук CCCP. Энергетика и транспорт, 1971, № 6, c. 36–44.
11. Идельчик В.И. Пример анализа существования и единственности решения уравнений установившегося режима. – Электричество, 1983, № 6, с. 56–59.
12. Идельчик В.И. Расчеты установившихся режимов электрических систем / под ред. В.А. Веникова. М.: Энергия, 1977, 192 с.
13. Ilic M. Network Theoretic Conditions for Existence and Uniqueness of Steady State Solutions to Electric Power Circuits. – IEEE International Symposium on Circuits and Systems (ISCAS), 1992, DOI: 10.1109/ISCAS.1992.230611.
14. Park S. et al. Uniqueness of Power Flow Solutions Using Monotonicity and Network Topology. – IEEE Transactions on Control of Network Systems, 2021, 8 (1), DOI: 10.1109/TCNS.2020.3027783.
15. Zhang H. et al. Uniqueness of Power Flow Solutions Using Graph-theoretic Notions. – IEEE Transactions on Control of Network Systems, 2022, 9 (1), pp. 100–112, DOI: 10.1109/TCNS.2022.3145749.
16. Meisel J., Barnard R.D. Application of Fixed-Point Techniques to Load-Flow Studies. – IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, 1970, PAS-89 (9), pp. 136–140, DOI: 10.1109/TPAS.1970.292681.
17. Lisboa A.C. et al. A Fast Power Flow Method for Radial Networks with Linear Storage and no Matrix Inversions. – International Journal of Electrical Power & Energy Systems, 2014, 63(1), pp. 901–907, DOI:10.1016/j.ijepes.2014.07.002.
18. Bolognani S., Zampieri S. On the Existence and Linear Approximation of the Power Flow Solution in Power Distribution Networks. – IEEE Transactions on Power Systems, 2016, 31 (1), DOI: 10.1109/TPWRS.2015.2395452.
19. Yu S., Nguyen H.D., Turitsyn K.S. Simple Certificate of Solvability of Power Flow Equations for Distribution Systems. – IEEE Power & Energy Society General Meeting, 2015, DOI: 10.1109/PESGM.2015.7286371.
20. Wang C. et al. Explicit Conditions on Existence and Uniqueness of Load-Flow Solutions in Distribution Networks. – IEEE Transactions on Smart Grid, 2018, 9(2), DOI: 10.1109/TSG.2016.2572060.
21. Пантелеев А.В., Якимова А.С. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление в примерах и задачах. М.: Высшая школа, 2001, 445 с.
22. Максвелл Дж.К. Трактат об электричестве и магнетизме, т. 1. М.: Наука, 1986, 416 с.
#
1. Idel'chik V.I. Raschety i optimizatsiya rezhimov elektricheskih setey (Calculations and Optimization of Modes of Electric Networks). M.: Energoatomizdat, 1988, 287 p.
2. Ayuev B.I. et al. Vychislitel'nye modeli potokoraspredeleniya v elektricheskih sistemah (Computational Models of Flow Distribution in Electrical Systems). M.: Flinta: Nauka, 2008, 256 p.
3. Krumm L.A. Metody optimizatsii pri upravlenii elektroener-geticheskimi sistemami (Optimization Methods in the Management of Electric Power Systems). Novosibirsk: Nauka, 1981, 319 p.
4. Gurevich Yu.E., Libova L.E., Okin A.A. Raschyoty ustoychivosti i protivoavariynoy avtomatiki v energosistemah (Calculations of Stability and Emergency Automation in Power Systems). М.: Ener-goatomizdat, 1990, 390 p.
5. Milano F. Power System Modelling and Scripting. Springer, 2010, 578 p.
6. Kundur P. Power System Stability and Control. McGraw-Hill, Inc., 1994, 1176 p.
7. Anapol'skiy L.Yu. Izvestiya RAN. Energetika – in Russ. (News of the Russian Academy of Sciences. Energy Industry), 2006, No. 4, pp. 16–26.
8. ANARES-2010 [Electron. resource]. URL: https://isem.irk.ru/upload/iblock/f19/f19c24a44598ba28da299ae1f1cf42d3.pdf (Date of appeal 08.06.2024).
9. RastrWin3. User's Guide, 2020 [Electron. resource]. URL: https://www.rastrwin.ru/download/Files/RastrWin3_2020_10_05.pdf (Date of appeal 08.06.2024).
10. Fazylov H.F., Nasyrov T.H. Izvestiya Akademii nauk CCCP. Energetika i transport – in Russ. (Proceedings of the CCCP Academy of Sciences. Energy and Transport), 1971, No. 6, pp. 36–44.
11. Idel'chik V.I. Elektrichestvo – in Russ. (Electricity), 1983, No. 6, pp. 56–59.
12. Idel'chik V.I. Raschety ustanovivshihsya rezhimov elektr-icheskih sistem (Calculations of Steady-State Modes of Electrical Systems) / By ed. V.А. Venikov. М.: Energiya, 1977, 192 p.
13. Ilic M. Network Theoretic Conditions for Existence and Uniqueness of Steady State Solutions to Electric Power Circuits. – IEEE International Symposium on Circuits and Systems (ISCAS), 1992, DOI: 10.1109/ISCAS.1992.230611.
14. Park S. et al. Uniqueness of Power Flow Solutions Using Monotonicity and Network Topology. – IEEE Transactions on Control of Network Systems, 2021, 8 (1), DOI: 10.1109/TCNS.2020.3027783.
15. Zhang H. et al. Uniqueness of Power Flow Solutions Using Graph-theoretic Notions. – IEEE Transactions on Control of Network Systems, 2022, 9 (1), pp. 100–112, DOI: 10.1109/TCNS.2022.3145749.
16. Meisel J., Barnard R.D. Application of Fixed-Point Techniques to Load-Flow Studies. – IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, 1970, PAS-89 (9), pp. 136–140, DOI: 10.1109/TPAS.1970.292681.
17. Lisboa A.C. et al. A Fast Power Flow Method for Radial Networks with Linear Storage and no Matrix Inversions. – International Journal of Electrical Power & Energy Systems, 2014, 63(1), pp. 901–907, DOI:10.1016/j.ijepes.2014.07.002.
18. Bolognani S., Zampieri S. On the Existence and Linear Approximation of the Power Flow Solution in Power Distribution Networks. – IEEE Transactions on Power Systems, 2016, 31 (1), DOI: 10.1109/TPWRS.2015.2395452.
19. Yu S., Nguyen H.D., Turitsyn K.S. Simple Certificate of Solvability of Power Flow Equations for Distribution Systems. – IEEE Power & Energy Society General Meeting, 2015, DOI: 10.1109/PESGM.2015.7286371.
20. Wang C. et al. Explicit Conditions on Existence and Uniqueness of Load-Flow Solutions in Distribution Networks. – IEEE Transactions on Smart Grid, 2018, 9(2), DOI: 10.1109/TSG.2016.2572060.
21. Panteleev A.V., Yakimova A.S. Teoriya funktsiy kompleksnogo peremennogo i operatsionnoe ischislenie v primerah i zadachah (Theory of Complex Variable Functions and Operational Calculus in Examples and Problems). М.: Vysshaya shkola, 2001, 445 p.
22. Maxwell J.K. Traktat ob elektrichestve i magnetizme (Treatise on Electricity and Magnetism), vol. 1. М.: Nauka, 1986, 416 p.
2. Аюев Б.И. и др. Вычислительные модели потокораспределения в электрических системах. М.: Флинта: Наука, 2008, 256 с.
3. Крумм Л.А. Методы оптимизации при управлении электроэнергетическими системами. Новосибирск: Наука, 1981, 319 с.
4. Гуревич Ю.Е., Либова Л.Е., Окин А.А. Расчёты устойчивости и противоаварийной автоматики в энергосистемах. М.: Энергоатомиздат, 1990, 390 с.
5. Milano F. Power System Modelling and Scripting. Springer, 2010, 578 p.
6. Kundur P. Power System Stability and Control. McGraw-Hill, Inc., 1994, 1176 p.
7. Анапольский Л.Ю. Численно-аналитическое исследование электроэнергетических систем. – Известия РАН. Энергетика, 2006, № 4, с. 16–26.
8. Программно-вычислительный комплекс АНАРЭС-2010 [Электрон. ресурс]. URL: https://isem.irk.ru/upload/iblock/f19/f19c24a44598ba28da299ae1f1cf42d3.pdf (дата обращения 08.06.2024).
9. Программный комплекс «RastrWin3». Руководство пользователя, 2020 [Электрон. ресурс]. URL: https://www.rastrwin.ru/download/Files/RastrWin3_2020_10_05.pdf (дата обращения 08.06.2024).
10. Фазылов Х.Ф., Насыров Т.Х. Некоторые вопросы итерационного расчета установившихся режимов электрических систем. – Известия Академии наук CCCP. Энергетика и транспорт, 1971, № 6, c. 36–44.
11. Идельчик В.И. Пример анализа существования и единственности решения уравнений установившегося режима. – Электричество, 1983, № 6, с. 56–59.
12. Идельчик В.И. Расчеты установившихся режимов электрических систем / под ред. В.А. Веникова. М.: Энергия, 1977, 192 с.
13. Ilic M. Network Theoretic Conditions for Existence and Uniqueness of Steady State Solutions to Electric Power Circuits. – IEEE International Symposium on Circuits and Systems (ISCAS), 1992, DOI: 10.1109/ISCAS.1992.230611.
14. Park S. et al. Uniqueness of Power Flow Solutions Using Monotonicity and Network Topology. – IEEE Transactions on Control of Network Systems, 2021, 8 (1), DOI: 10.1109/TCNS.2020.3027783.
15. Zhang H. et al. Uniqueness of Power Flow Solutions Using Graph-theoretic Notions. – IEEE Transactions on Control of Network Systems, 2022, 9 (1), pp. 100–112, DOI: 10.1109/TCNS.2022.3145749.
16. Meisel J., Barnard R.D. Application of Fixed-Point Techniques to Load-Flow Studies. – IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, 1970, PAS-89 (9), pp. 136–140, DOI: 10.1109/TPAS.1970.292681.
17. Lisboa A.C. et al. A Fast Power Flow Method for Radial Networks with Linear Storage and no Matrix Inversions. – International Journal of Electrical Power & Energy Systems, 2014, 63(1), pp. 901–907, DOI:10.1016/j.ijepes.2014.07.002.
18. Bolognani S., Zampieri S. On the Existence and Linear Approximation of the Power Flow Solution in Power Distribution Networks. – IEEE Transactions on Power Systems, 2016, 31 (1), DOI: 10.1109/TPWRS.2015.2395452.
19. Yu S., Nguyen H.D., Turitsyn K.S. Simple Certificate of Solvability of Power Flow Equations for Distribution Systems. – IEEE Power & Energy Society General Meeting, 2015, DOI: 10.1109/PESGM.2015.7286371.
20. Wang C. et al. Explicit Conditions on Existence and Uniqueness of Load-Flow Solutions in Distribution Networks. – IEEE Transactions on Smart Grid, 2018, 9(2), DOI: 10.1109/TSG.2016.2572060.
21. Пантелеев А.В., Якимова А.С. Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление в примерах и задачах. М.: Высшая школа, 2001, 445 с.
22. Максвелл Дж.К. Трактат об электричестве и магнетизме, т. 1. М.: Наука, 1986, 416 с.
#
1. Idel'chik V.I. Raschety i optimizatsiya rezhimov elektricheskih setey (Calculations and Optimization of Modes of Electric Networks). M.: Energoatomizdat, 1988, 287 p.
2. Ayuev B.I. et al. Vychislitel'nye modeli potokoraspredeleniya v elektricheskih sistemah (Computational Models of Flow Distribution in Electrical Systems). M.: Flinta: Nauka, 2008, 256 p.
3. Krumm L.A. Metody optimizatsii pri upravlenii elektroener-geticheskimi sistemami (Optimization Methods in the Management of Electric Power Systems). Novosibirsk: Nauka, 1981, 319 p.
4. Gurevich Yu.E., Libova L.E., Okin A.A. Raschyoty ustoychivosti i protivoavariynoy avtomatiki v energosistemah (Calculations of Stability and Emergency Automation in Power Systems). М.: Ener-goatomizdat, 1990, 390 p.
5. Milano F. Power System Modelling and Scripting. Springer, 2010, 578 p.
6. Kundur P. Power System Stability and Control. McGraw-Hill, Inc., 1994, 1176 p.
7. Anapol'skiy L.Yu. Izvestiya RAN. Energetika – in Russ. (News of the Russian Academy of Sciences. Energy Industry), 2006, No. 4, pp. 16–26.
8. ANARES-2010 [Electron. resource]. URL: https://isem.irk.ru/upload/iblock/f19/f19c24a44598ba28da299ae1f1cf42d3.pdf (Date of appeal 08.06.2024).
9. RastrWin3. User's Guide, 2020 [Electron. resource]. URL: https://www.rastrwin.ru/download/Files/RastrWin3_2020_10_05.pdf (Date of appeal 08.06.2024).
10. Fazylov H.F., Nasyrov T.H. Izvestiya Akademii nauk CCCP. Energetika i transport – in Russ. (Proceedings of the CCCP Academy of Sciences. Energy and Transport), 1971, No. 6, pp. 36–44.
11. Idel'chik V.I. Elektrichestvo – in Russ. (Electricity), 1983, No. 6, pp. 56–59.
12. Idel'chik V.I. Raschety ustanovivshihsya rezhimov elektr-icheskih sistem (Calculations of Steady-State Modes of Electrical Systems) / By ed. V.А. Venikov. М.: Energiya, 1977, 192 p.
13. Ilic M. Network Theoretic Conditions for Existence and Uniqueness of Steady State Solutions to Electric Power Circuits. – IEEE International Symposium on Circuits and Systems (ISCAS), 1992, DOI: 10.1109/ISCAS.1992.230611.
14. Park S. et al. Uniqueness of Power Flow Solutions Using Monotonicity and Network Topology. – IEEE Transactions on Control of Network Systems, 2021, 8 (1), DOI: 10.1109/TCNS.2020.3027783.
15. Zhang H. et al. Uniqueness of Power Flow Solutions Using Graph-theoretic Notions. – IEEE Transactions on Control of Network Systems, 2022, 9 (1), pp. 100–112, DOI: 10.1109/TCNS.2022.3145749.
16. Meisel J., Barnard R.D. Application of Fixed-Point Techniques to Load-Flow Studies. – IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, 1970, PAS-89 (9), pp. 136–140, DOI: 10.1109/TPAS.1970.292681.
17. Lisboa A.C. et al. A Fast Power Flow Method for Radial Networks with Linear Storage and no Matrix Inversions. – International Journal of Electrical Power & Energy Systems, 2014, 63(1), pp. 901–907, DOI:10.1016/j.ijepes.2014.07.002.
18. Bolognani S., Zampieri S. On the Existence and Linear Approximation of the Power Flow Solution in Power Distribution Networks. – IEEE Transactions on Power Systems, 2016, 31 (1), DOI: 10.1109/TPWRS.2015.2395452.
19. Yu S., Nguyen H.D., Turitsyn K.S. Simple Certificate of Solvability of Power Flow Equations for Distribution Systems. – IEEE Power & Energy Society General Meeting, 2015, DOI: 10.1109/PESGM.2015.7286371.
20. Wang C. et al. Explicit Conditions on Existence and Uniqueness of Load-Flow Solutions in Distribution Networks. – IEEE Transactions on Smart Grid, 2018, 9(2), DOI: 10.1109/TSG.2016.2572060.
21. Panteleev A.V., Yakimova A.S. Teoriya funktsiy kompleksnogo peremennogo i operatsionnoe ischislenie v primerah i zadachah (Theory of Complex Variable Functions and Operational Calculus in Examples and Problems). М.: Vysshaya shkola, 2001, 445 p.
22. Maxwell J.K. Traktat ob elektrichestve i magnetizme (Treatise on Electricity and Magnetism), vol. 1. М.: Nauka, 1986, 416 p.
