Использование разрывных граничных элементов при расчете трехмерных электростатических полей
DOI:
https://doi.org/10.24160/0013-5380-2026-1-30-41Ключевые слова:
электростатическое поле, интегральные уравнения, метод граничных элементов, сингулярность, проводники, итерацииАннотация
В статье рассмотрена модификация метода граничных элементов, допускающая использование разрывных элементов, сходимость итерационных процедур для которых оказывается во многих случаях более высокой. Дополнительным преимуществом является возможность сочетания элементов различных форм, поскольку не требуется выполнять условие совместности для потенциала между ними. Выбрана простейшая форма элемента. Приближенное выражение базисной функции задано аналитическим решением уравнения Лапласа с постоянным потенциалом внутри, равным его значению в центре элемента. Сингулярное поведение плотности заряда позволяет использовать элемент для аппроксимации точной плотности поверхностного заряда вблизи краев электродов, включая их углы и грани. Предложен универсальный алгоритм расчета трехмерных электростатических полей, основанный на дискретном представлении поверхностей электродов семейством этих граничных элементов и непосредственном (минуя вычисление интегралов) получении системы линейных алгебраических уравнений для коллокационных точек в середине каждого элемента. Система решается методом свободной групповой итерации аналитически по общим формулам. Обсуждается обусловленность полученных матриц, чтобы можно было рекомендовать соответствующие ограничения при разбиении границ. Продемонстрированы и проанализированы эксперименты с аналитическими тестовыми задачами. Показана хорошая точность и сходимость приближенного решения вблизи граничных поверхностей в рассмотренном диапазоне мелкости их дискретизации. Отмечено сокращение общей продолжительности вычислений при использовании вложенных элементов.
Библиографические ссылки
1. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987, 524 с.
2. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Метод граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984, 494 с.
3. Тозони О.В. Метод вторичных источников в электротехнике. М.: Энергия, 1975, 296 с.
4. Маергойз И.Д. Итерационные методы расчета статических полей в неоднородных, анизотропных и нелинейных средах. Киев: Наукова думка, 1979, 210 с.
5. Курбатов П.А., Аринчин С.А. Численный расчет электромагнитных полей. М.: Энергоатомиздат, 1984, 168 с.
6. Иванов В.Я. Аналитическая техника при решении трехмерных задач электронной оптики. – Научное приборостроение, 2014, т. 24, № 1, с. 96–101.
7. Людкевич И.В., Гордийчук В.И. Численное решение пространственных задач теории потенциала. Львов: Вища школа, 1979, 115 с.
8. Бердников А.С. Расчет трехмерных электростатических полей методом граничных элементов с выделением сингулярностей ядра около поверхностей электродов. – Научное приборостроение, 2004, т. 14, № 4, с. 20–38.
9. Фрейнкман Б.Г. Вычисление электростатического поля вблизи заряженной поверхности. – Журнал технической физики, 1979, т. 49, вып. 11, с. 2469–2472.
10. Фрейнкман Б.Г. Выделение особенности в интегральных уравнениях трехмерного электромагнитного поля. – Журнал технической физики, 1980, т. 50, вып. 2, с. 425–427.
11. Гринфельд Д.Э., Монастырский М.А. Расчет трехмерных электростатических полей с универсальным алгоритмом выделения особенностей поверхностного заряда на основе метода Фикеры. – Прикладная физика, 2002, № 3, с. 43–55.
12. Белоедова И.П. и др. Расчет электрических полей устройств высокого напряжения. М.: Издательский дом МЭИ, 2008, 248 с.
13. Александров М.Г. и др. Расчет электрических цепей и электромагнитных полей на ЭВМ. М.: Радио и связь, 1983, 344 с.
14. Колечицкий Е.С. Расчет электрических полей устройств высокого напряжения. М.: Энергоатомиздат, 1983, 167 с.
15. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Разностные методы решения задач математической физики на нерегулярных сетках. – Математическое моделирование, 2001, т. 13, № 2, с. 5–16.
16. Лacло M. Вычислительная геометрия и компьютерная графика на C++. М.: Бином, 1997, 301 с.
17. Скворцов А.В. Обзор алгоритмов построения триангуляции Делоне. – Вычислительные методы и программирование, 2002, № 3, c. 14–39.
18. Скворцов А.В. Алгоритмы построения триангуляции с ограничениями. – Вычислительные методы и программирование, 2002, № 3, c. 82–92.
19. Никулин Е.А. Компьютерная геометрия и алгоритмы машинной графики. СПб.: БХВ-Петербург, 2003, 560 с.
20. Миролюбов Н.Н. и др. Методы расчета электростатических полей. М.: Высшая школа, 1963, 415 с.
21. Калимов А.Г., Важнов С.А. Применение сингулярных финитных функций для аппроксимации поверхностной плотности заряда в методе граничных интегральных уравнений. – Электричество, 2020, № 2, с. 48–53.
22. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977, 304 с.
23. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. СПб.: Изд-во Лань, 2021, 736 с.
24. Форсайт Дж., Молер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. М.: Мир, 1969, 167 с.
25. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрофизики. М.: Наука, 1985, 336 с.
26. Иоссель Ю.Я., Кочанов Э.С., Струнский М.Г. Расчет электрической емкости. Л.: Энергоиздат, 1981, 288 с
#
1. Brebbiya K., Telles Zh., Vroubel L. Metody granichnyh elementov (Boundary Element Methods). M.: Mir, 1987, 524 p.
2. Benerdzhi P., Batterfild R. Metod granichnyh elementov v prikladnyh naukah (The Boundary Element Method in Applied Sciences). M.: Mir, 1984, 494 p.
3. Tozoni O.V. Metod vtorichnyh istochnikov v elektrotehnike (The Method of Secondary Sources in Electrical Engineering). M.: Energiya, 1975, 296 p.
4. Maergoyz I.D. Iteratsionnye metody rascheta staticheskih poley v neodnorodnyh, anizotropnyh i nelineynyh sredah (Iterative Methods for Calculating Static Fields in Inhomogeneous, Anisotropic, and Nonlinear Media). Kiev: Naukova dumka, 1979, 210 p.
5. Kurbatov P.A., Arinchin S.A. Chislennyy raschet elektromagnitnyh poley (Numerical Calculation of Electromagnetic Fields). M.: Energoatomizdat, 1984, 168 p.
6. Ivanov V.Ya. Nauchnoe priborostroenie – in Russ. (Scientific Instrumentation), 2014, vol. 24, No. 1, pp. 96–101.
7. Lyudkevich I.V., Gordiychuk V.I. Chislennoe reshenie prost-ranstvennyh zadach teorii potentsiala (Numerical Solution of Spatial Problems of Potential Theory). L’vov: Vishcha shkola, 1979, 115 p.
8. Berdnikov A.S. Nauchnoe priborostroenie – in Russ. (Scientific Instrumentation), 2004, vol. 14, No. 4, pp. 20–38.
9. Freynkman B.G. Zhurnal tehnicheskoy fiziki – in Russ. (Journal of Technical Physics), 1979, vol. 49, iss. 11, pp. 2469–2472.
10. Freynkman B.G. Zhurnal tehnicheskoy fiziki – in Russ. (Journal of Technical Physics), 1980, vol. 50, iss. 2, pp. 425–427.
11. Grinfel’d D.E., Monastyrskiy M.A. Prikladnaya fizika – in Russ. (Applied Physics), 2002, No. 3, pp. 43–55.
12. Beloedova I.P. et al. Raschet elektricheskih poley ustroystv vysokogo napryazheniya (Calculation of Electric Fields of High Voltage Devices). M.: Izdatel’skiy dom MEI, 2008, 248 p.
13. Aleksandrov M.G. et al. Raschet elektricheskih tsepey i elek-tromagnitnyh poley na EVM (Calculation of Electrical Circuits and Electromagnetic Fields on a Computer). M.: Radio i svyaz’, 1983, 344 p.
14. Kolechitskiy E.S. Raschet elektricheskih poley ustroystv vy-sokogo napryazheniya (Calculation of Electric Fields of High Voltage Devices). M.: Energoatomizdat, 1983, 167 p.
15. Samarskiy A.A., Vabishchevich P.N. Matematicheskoe mo-delirovanie – in Russ. (Mathematical Modeling), 2001, vol. 13, No. 2, pp. 5–16.
16. Laclo M. Vychislitel’naya geometriya i komp’yuternaya gra-fika na C++ (Computational Geometry and Computer Graphics in C++). M.: Binom, 1997, 301 p.
17. Skvortsov A.V. Vychislitel’nye metody i programmirovanie – in Russ. (Computational Methods and Programming), 2002, No. 3, pp. 14–39.
18. Skvortsov A.V. Vychislitel’nye metody i programmirovanie – in Russ. (Computational Methods and Programming), 2002, No. 3, pp. 82–92.
19. Nikulin E.A. Komp’yuternaya geometriya i algoritmy mashinnoy grafiki (Computer Geometry and Machine Graphics Algo-rithms). SPb.: BHV-Peterburg, 2003, 560 p.
20. Mirolyubov N.N. et al. Metody rascheta elektrostaticheskih poley (Methods for Calculating Electrostatic Fields). M.: Vysshaya shkola, 1963, 415 p.
21. Kalimov A.G., Vazhnov S.A. Elektrichestvo – in Russ. (Elec-tricity), 2020, No. 2, pp. 48–53.
22. Voevodin V.V. Vychislitel’nye osnovy lineynoy algebry (Com-putational Foundations of Linear Algebra). M.: Nauka, 1977, 304 p.
23. Faddeev D.K., Faddeeva V.N. Vychislitel’nye metody lineynoy algebry (Computational Methods of Linear Algebra). SPb.: Izd-vo Lan’, 2021, 736 p.
24. Forsayt Dzh., Moler K. Chislennoe reshenie sistem lineynyh algebraicheskih uravneniy (Numerical Solution of Systems of Linear Algebraic Equations). M.: Mir, 1969, 167 p.
25. Il’in V. P. Chislennye metody resheniya zadach elektrofiziki (Numerical Methods for Solving Problems of Electrophysics). M.: Nauka, 1985, 336 p.
26. Iossel’ Yu.Ya., Kochanov E.S., Strunskiy M.G. Raschet elektricheskoy emkosti (Calculation of Electrical Capacity). L.: Energoizdat, 1981, 288 p
