Application of Discontinuous Boundary Elements in Calculating 3D Electrostatic Fields
DOI:
https://doi.org/10.24160/0013-5380-2026-1-30-41Keywords:
electrostatic field, integral equations, boundary element method, singularity, conductors, iterationsAbstract
The article considers a modification of the boundary element method that allows the use of discontinuous elements, the iteration procedures for which in many cases feature a stronger convergence. An additional advantage lies in the possibility to combine elements of different shapes, because there is no need to fulfill the compatibility condition for the potential between them. The simplest shape of the element is chosen. The approximate expression of the basis function is given by an analytical solution of the Laplace equation with a constant potential inside equal to its value at the element center. Owing to a singular behavior of the charge density, the element can be used to approximate the exact surface charge density near the electrode edges, including their corners and faces. A universal algorithm for calculating 3D electrostatic fields is proposed, which is based on a discrete representation of the electrode surfaces by a family of these boundary elements with directly (without calculating the integrals) obtaining a system of linear algebraic equations for collocation points in the middle of each element. The system of equations is solved analytically by the free group iteration method using general formulas. The conditionality of the obtained matrices is discussed so that it would be possible to recommend appropriate restrictions when partitioning the boundaries. Experiments with analytical test problems are demonstrated and analyzed. Good accuracy and convergence of the approximate solution near the boundary surfaces in the considered range of their discretization fineness are shown. A reduction in the overall duration of calculations when using nested elements is noted.
References
1. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987, 524 с.
2. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Метод граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984, 494 с.
3. Тозони О.В. Метод вторичных источников в электротехнике. М.: Энергия, 1975, 296 с.
4. Маергойз И.Д. Итерационные методы расчета статических полей в неоднородных, анизотропных и нелинейных средах. Киев: Наукова думка, 1979, 210 с.
5. Курбатов П.А., Аринчин С.А. Численный расчет электромагнитных полей. М.: Энергоатомиздат, 1984, 168 с.
6. Иванов В.Я. Аналитическая техника при решении трехмерных задач электронной оптики. – Научное приборостроение, 2014, т. 24, № 1, с. 96–101.
7. Людкевич И.В., Гордийчук В.И. Численное решение пространственных задач теории потенциала. Львов: Вища школа, 1979, 115 с.
8. Бердников А.С. Расчет трехмерных электростатических полей методом граничных элементов с выделением сингулярностей ядра около поверхностей электродов. – Научное приборостроение, 2004, т. 14, № 4, с. 20–38.
9. Фрейнкман Б.Г. Вычисление электростатического поля вблизи заряженной поверхности. – Журнал технической физики, 1979, т. 49, вып. 11, с. 2469–2472.
10. Фрейнкман Б.Г. Выделение особенности в интегральных уравнениях трехмерного электромагнитного поля. – Журнал технической физики, 1980, т. 50, вып. 2, с. 425–427.
11. Гринфельд Д.Э., Монастырский М.А. Расчет трехмерных электростатических полей с универсальным алгоритмом выделения особенностей поверхностного заряда на основе метода Фикеры. – Прикладная физика, 2002, № 3, с. 43–55.
12. Белоедова И.П. и др. Расчет электрических полей устройств высокого напряжения. М.: Издательский дом МЭИ, 2008, 248 с.
13. Александров М.Г. и др. Расчет электрических цепей и электромагнитных полей на ЭВМ. М.: Радио и связь, 1983, 344 с.
14. Колечицкий Е.С. Расчет электрических полей устройств высокого напряжения. М.: Энергоатомиздат, 1983, 167 с.
15. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Разностные методы решения задач математической физики на нерегулярных сетках. – Математическое моделирование, 2001, т. 13, № 2, с. 5–16.
16. Лacло M. Вычислительная геометрия и компьютерная графика на C++. М.: Бином, 1997, 301 с.
17. Скворцов А.В. Обзор алгоритмов построения триангуляции Делоне. – Вычислительные методы и программирование, 2002, № 3, c. 14–39.
18. Скворцов А.В. Алгоритмы построения триангуляции с ограничениями. – Вычислительные методы и программирование, 2002, № 3, c. 82–92.
19. Никулин Е.А. Компьютерная геометрия и алгоритмы машинной графики. СПб.: БХВ-Петербург, 2003, 560 с.
20. Миролюбов Н.Н. и др. Методы расчета электростатических полей. М.: Высшая школа, 1963, 415 с.
21. Калимов А.Г., Важнов С.А. Применение сингулярных финитных функций для аппроксимации поверхностной плотности заряда в методе граничных интегральных уравнений. – Электричество, 2020, № 2, с. 48–53.
22. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977, 304 с.
23. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. СПб.: Изд-во Лань, 2021, 736 с.
24. Форсайт Дж., Молер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. М.: Мир, 1969, 167 с.
25. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрофизики. М.: Наука, 1985, 336 с.
26. Иоссель Ю.Я., Кочанов Э.С., Струнский М.Г. Расчет электрической емкости. Л.: Энергоиздат, 1981, 288 с
#
1. Brebbiya K., Telles Zh., Vroubel L. Metody granichnyh elementov (Boundary Element Methods). M.: Mir, 1987, 524 p.
2. Benerdzhi P., Batterfild R. Metod granichnyh elementov v prikladnyh naukah (The Boundary Element Method in Applied Sciences). M.: Mir, 1984, 494 p.
3. Tozoni O.V. Metod vtorichnyh istochnikov v elektrotehnike (The Method of Secondary Sources in Electrical Engineering). M.: Energiya, 1975, 296 p.
4. Maergoyz I.D. Iteratsionnye metody rascheta staticheskih poley v neodnorodnyh, anizotropnyh i nelineynyh sredah (Iterative Methods for Calculating Static Fields in Inhomogeneous, Anisotropic, and Nonlinear Media). Kiev: Naukova dumka, 1979, 210 p.
5. Kurbatov P.A., Arinchin S.A. Chislennyy raschet elektromagnitnyh poley (Numerical Calculation of Electromagnetic Fields). M.: Energoatomizdat, 1984, 168 p.
6. Ivanov V.Ya. Nauchnoe priborostroenie – in Russ. (Scientific Instrumentation), 2014, vol. 24, No. 1, pp. 96–101.
7. Lyudkevich I.V., Gordiychuk V.I. Chislennoe reshenie prost-ranstvennyh zadach teorii potentsiala (Numerical Solution of Spatial Problems of Potential Theory). L’vov: Vishcha shkola, 1979, 115 p.
8. Berdnikov A.S. Nauchnoe priborostroenie – in Russ. (Scientific Instrumentation), 2004, vol. 14, No. 4, pp. 20–38.
9. Freynkman B.G. Zhurnal tehnicheskoy fiziki – in Russ. (Journal of Technical Physics), 1979, vol. 49, iss. 11, pp. 2469–2472.
10. Freynkman B.G. Zhurnal tehnicheskoy fiziki – in Russ. (Journal of Technical Physics), 1980, vol. 50, iss. 2, pp. 425–427.
11. Grinfel’d D.E., Monastyrskiy M.A. Prikladnaya fizika – in Russ. (Applied Physics), 2002, No. 3, pp. 43–55.
12. Beloedova I.P. et al. Raschet elektricheskih poley ustroystv vysokogo napryazheniya (Calculation of Electric Fields of High Voltage Devices). M.: Izdatel’skiy dom MEI, 2008, 248 p.
13. Aleksandrov M.G. et al. Raschet elektricheskih tsepey i elek-tromagnitnyh poley na EVM (Calculation of Electrical Circuits and Electromagnetic Fields on a Computer). M.: Radio i svyaz’, 1983, 344 p.
14. Kolechitskiy E.S. Raschet elektricheskih poley ustroystv vy-sokogo napryazheniya (Calculation of Electric Fields of High Voltage Devices). M.: Energoatomizdat, 1983, 167 p.
15. Samarskiy A.A., Vabishchevich P.N. Matematicheskoe mo-delirovanie – in Russ. (Mathematical Modeling), 2001, vol. 13, No. 2, pp. 5–16.
16. Laclo M. Vychislitel’naya geometriya i komp’yuternaya gra-fika na C++ (Computational Geometry and Computer Graphics in C++). M.: Binom, 1997, 301 p.
17. Skvortsov A.V. Vychislitel’nye metody i programmirovanie – in Russ. (Computational Methods and Programming), 2002, No. 3, pp. 14–39.
18. Skvortsov A.V. Vychislitel’nye metody i programmirovanie – in Russ. (Computational Methods and Programming), 2002, No. 3, pp. 82–92.
19. Nikulin E.A. Komp’yuternaya geometriya i algoritmy mashinnoy grafiki (Computer Geometry and Machine Graphics Algo-rithms). SPb.: BHV-Peterburg, 2003, 560 p.
20. Mirolyubov N.N. et al. Metody rascheta elektrostaticheskih poley (Methods for Calculating Electrostatic Fields). M.: Vysshaya shkola, 1963, 415 p.
21. Kalimov A.G., Vazhnov S.A. Elektrichestvo – in Russ. (Elec-tricity), 2020, No. 2, pp. 48–53.
22. Voevodin V.V. Vychislitel’nye osnovy lineynoy algebry (Com-putational Foundations of Linear Algebra). M.: Nauka, 1977, 304 p.
23. Faddeev D.K., Faddeeva V.N. Vychislitel’nye metody lineynoy algebry (Computational Methods of Linear Algebra). SPb.: Izd-vo Lan’, 2021, 736 p.
24. Forsayt Dzh., Moler K. Chislennoe reshenie sistem lineynyh algebraicheskih uravneniy (Numerical Solution of Systems of Linear Algebraic Equations). M.: Mir, 1969, 167 p.
25. Il’in V. P. Chislennye metody resheniya zadach elektrofiziki (Numerical Methods for Solving Problems of Electrophysics). M.: Nauka, 1985, 336 p.
26. Iossel’ Yu.Ya., Kochanov E.S., Strunskiy M.G. Raschet elektricheskoy emkosti (Calculation of Electrical Capacity). L.: Energoizdat, 1981, 288 p
