Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях с использованием аппроксимации Паде матричной экспоненты
Ключевые слова:
электрические цепи, переходные процессы, жесткие системы, колебательные системы, методы высокого порядка точности, L-устойчивые методы, аппроксимация Паде, матричная экспонента
Аннотация
В статье рассмотрено применение нового семейства неявных высокоточных численных методов к расчету переходных процессов в линейных электрических цепях. Методы применимы для расчета процессов в обычных цепях, а также в цепях с жесткими и колебательными системами уравнений и в цепях с частыми переключениями. Основа методов – формула Коши, в которой матричная экспонента представлена в виде аппроксимации Паде. Эта аппроксимация разложена на простейшие матричные дроби. В результате получены простые формулы, в которых матрицы формируются непосредственно по схеме цепи, аналогично тому, как это делается в методе узловых потенциалов. В итоге для расчета состояния цепи на очередном шаге интегрирования нужны лишь параметры элементов цепи, матрица инцидентности цепи, а также напряжения и токи источников электроэнергии, заданные в пределах шага интегрирования своими значениями либо коэффициентами локальных полиномов. С помощью новых методов можно рассчитывать процессы в цепях с постоянными параметрами и с кусочно-постоянными параметрами, фиксированными в пределах каждого шага интегрирования. Методы отличаются простотой, универсальностью и малыми вычислительными затратами.
Литература
1. Burtsev Yu. High Precision Methods Based on Pade Approximation of Matrix Exponent for Numerical Analysis of Stiff-Oscillatory Electrical Circuits. – International Conference on Industrial Engineering, Applications and Manufacturing, 2020, DOI:10.1109/ICIEAM48468.2020.9112007.
2. Бурцев Ю.А. Решение задачи Коши высокоточными методами на основе аппроксимации Паде матричной экспоненты ‒ Труды института системного анализа РАН, 2024, № 1, с. 3–11.
3. Чуа Л.О., Пен-Мин Лин. Машинный анализ электронных схем (алгоритмы и вычислительные методы). М.: Энергия, 1980, 640 с.
4. Курганов С.А., Филаретов В.В. Формирование уравнений состояния линейных электрических цепей с обобщенными индуктивными сечениями и емкостными контурами. ‒ Электричество, 2013, № 9, с. 49–55.
5. Скворцов Л.М. Численное решение обыкновенных дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений. М.: ДМК Пресс, 2018, 230 c.
6. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений / под ред. Дж. Холла и Дж. Уатта. М.: Мир, 1979, 312 с.
7. Гридин В.Н., Михайлов В.Б., Шустерман Л.Б. Численно-аналитическое моделирование радиоэлектронных схем. М.: Наука, 2008, 339 с.
8. Бурцев Ю.А. Сравнение программы расчета электрических цепей на основе модифицированного табличного метода с известными аналогами. ‒ Известия высших учебных заведений. Электромеханика, 2013, № 4, с. 8–13.
9. Сафаров Х.С. и др. О выборе численных методов интегрирования уравнений переходных процессов в электротехнических системах. ‒ Электричество, 2022, № 4, с. 40–46.
10. Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. М.: Мир, 1999, 685 c.
11. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жестких систем. М.: Наука, 1979, 208 с.
12. Crow M.L., Ilic M.D. The Waveform Relaxation Method for Systems of Differential/Algebraic Equations. – Mathematical and Computer Modelling, 1994, vol. 19(12), pp. 67–84.
13. Артым А.Д., Филин В.А., Есполов К.Ж. Новый метод расчета процессов в электрических цепях. СПб.: Элмор, 2001, 192 с.
14. Пилипенко А.М. Гибридные методы высокого порядка точности для численного анализа во временной области жестких и колебательных цепей. ‒ Моделирование, оптимизация и информационные технологии, 2017, № 3(18), с. 2–13.
15. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Физматлит, 2010, 560 с.
16. Бейкер Дж., Грейвс-Моррис П. Апрроксимации Паде. М.: Мир, 1986, 502 с.
17. Тыртышников Е.Е. Методы численного анализа. М.: МГУ, 2006, 276 с.
18. Тыртышников Е.Е. Курс линейной алгебры. М.: МГУ, 2005, 299 с.
#
1. Burtsev Yu. High Precision Methods Based on Pade Approximation of Matrix Exponent for Numerical Analysis of Stiff-Oscillatory Electrical Circuits. – International Conference on Industrial Engineering, Applications and Manufacturing, 2020, DOI:10.1109/ICIEAM48468.2020.9112007.
2. Burtsev Yu.А. Trudy instituta sistemnogo analiza RAN ‒ in Russ. (Proceedings of the Institute of System Analysis of the Russian Academy of Sciences), 2024, No. 1, pp. 3–11.
3. Chua L.O., Pen-Min Lin. Mashinnyy analiz elektronnyh skhem (algoritmy i vychislitel'nye metody) (Machine Analysis of Electronic Circuits (Algorithms and Computational Methods)). M.: Energiya, 1980, 640 p.
4. Kurganov S.A., Filaretov V.V. Elektrichestvo – in Russ. (Electricity), 2013, No. 9, pp. 49–55.
5. Skvortsov L.M. Chislennoe reshenie obyknovennyh differentsial'nyh i differentsial'no-algebraicheskih uravneniy (Numerical Solution of Ordinary Differential and Differential Algebraic Equations). М.: DМК Пресс, 2018, 230 p.
6. Sovremennye chislennye metody resheniya obyknovennyh differentsial'nyh uravneniy (Modern Numerical Methods for Solving Ordinary Differential Equations) / By Ed. J. Hall and J. Watt. М.: Mir, 1979, 312 p.
7. Gridin V.N., Mihaylov V.B., Shusterman L.B. Chislenno-analiticheskoe modelirovanie radioelektronnyh skhem (Numerical and Analytical Modeling of Electronic Circuits). М.: Nauka, 2008, 339 p.
8. Burtsev Yu.А. News of higher educational institutions. Electromechanics ‒ in Russ. (News of Higher Educational Institutions. Electromechanics), 2013, No. 4, pp. 8–13.
9. Safarov H.S. et al. Elektrichestvo – in Russ. (Electricity), 2022, No. 4, pp. 40–46.
10. Hayrer E., Nyorsett S., Vanner G. Reshenie obyknovennyh differentsial'nyh uravneniy. Zhestkie i differentsial'no-algebraicheskie zadachi (Solving Ordinary Differential Equations. Rigid and Differential Algebraic Problems). М.: Мir, 1999, 685 p.
11. Rakitskiy Yu.V., Ustinov S.M., Chernorutskiy I.G. Chislen-nye metody resheniya zhestkih sistem (Numerical Methods for Solving Rigid Systems). М.: Наука, 1979, 208 p.
12. Crow M.L., Ilic M.D. The Waveform Relaxation Method for Systems of Differential/Algebraic Equations. – Mathematical and Computer Modelling, 1994, vol. 19(12), pp. 67–84.
13. Artym A.D., Filin V.A., Espolov K.Zh. Novyy metod rascheta protsessov v elektricheskih tsepyah (A New Method for Calculating Processes in Electrical Circuits). SPb.: Elmor, 2001, 192 p.
14. Pilipenko А.М. Gibridnye metody vysokogo poryadka tochnosti dlya chislennogo analiza vo vremennoy oblasti zhestkix i kolebatel'nyx tsepey ‒ in Russ. (Modeling, optimization and information technology), 2017, No. 3(18), pp. 2–13.
15. Gantmaher F.R. Teoriya matrits (Matrix theory). М.: Fizmatlit, 2010, 560 p.
16. Beyker Dzh., Greyvs-Morris P. Approksimatsii Pade (Approximation of the Case). М.: Мir, 1986, 502 p.
17. Tyrtyshnikov Е.Е. Metody chislennogo analiza (Methods of Numerical Analysis). М.: МGU, 2006, 276 p.
18. Tyrtyshnikov Е.Е. Kurs lineynoy algebry (Linear Algebra Course). М.: МGU, 2005, 299 p
2. Бурцев Ю.А. Решение задачи Коши высокоточными методами на основе аппроксимации Паде матричной экспоненты ‒ Труды института системного анализа РАН, 2024, № 1, с. 3–11.
3. Чуа Л.О., Пен-Мин Лин. Машинный анализ электронных схем (алгоритмы и вычислительные методы). М.: Энергия, 1980, 640 с.
4. Курганов С.А., Филаретов В.В. Формирование уравнений состояния линейных электрических цепей с обобщенными индуктивными сечениями и емкостными контурами. ‒ Электричество, 2013, № 9, с. 49–55.
5. Скворцов Л.М. Численное решение обыкновенных дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений. М.: ДМК Пресс, 2018, 230 c.
6. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений / под ред. Дж. Холла и Дж. Уатта. М.: Мир, 1979, 312 с.
7. Гридин В.Н., Михайлов В.Б., Шустерман Л.Б. Численно-аналитическое моделирование радиоэлектронных схем. М.: Наука, 2008, 339 с.
8. Бурцев Ю.А. Сравнение программы расчета электрических цепей на основе модифицированного табличного метода с известными аналогами. ‒ Известия высших учебных заведений. Электромеханика, 2013, № 4, с. 8–13.
9. Сафаров Х.С. и др. О выборе численных методов интегрирования уравнений переходных процессов в электротехнических системах. ‒ Электричество, 2022, № 4, с. 40–46.
10. Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. М.: Мир, 1999, 685 c.
11. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жестких систем. М.: Наука, 1979, 208 с.
12. Crow M.L., Ilic M.D. The Waveform Relaxation Method for Systems of Differential/Algebraic Equations. – Mathematical and Computer Modelling, 1994, vol. 19(12), pp. 67–84.
13. Артым А.Д., Филин В.А., Есполов К.Ж. Новый метод расчета процессов в электрических цепях. СПб.: Элмор, 2001, 192 с.
14. Пилипенко А.М. Гибридные методы высокого порядка точности для численного анализа во временной области жестких и колебательных цепей. ‒ Моделирование, оптимизация и информационные технологии, 2017, № 3(18), с. 2–13.
15. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Физматлит, 2010, 560 с.
16. Бейкер Дж., Грейвс-Моррис П. Апрроксимации Паде. М.: Мир, 1986, 502 с.
17. Тыртышников Е.Е. Методы численного анализа. М.: МГУ, 2006, 276 с.
18. Тыртышников Е.Е. Курс линейной алгебры. М.: МГУ, 2005, 299 с.
#
1. Burtsev Yu. High Precision Methods Based on Pade Approximation of Matrix Exponent for Numerical Analysis of Stiff-Oscillatory Electrical Circuits. – International Conference on Industrial Engineering, Applications and Manufacturing, 2020, DOI:10.1109/ICIEAM48468.2020.9112007.
2. Burtsev Yu.А. Trudy instituta sistemnogo analiza RAN ‒ in Russ. (Proceedings of the Institute of System Analysis of the Russian Academy of Sciences), 2024, No. 1, pp. 3–11.
3. Chua L.O., Pen-Min Lin. Mashinnyy analiz elektronnyh skhem (algoritmy i vychislitel'nye metody) (Machine Analysis of Electronic Circuits (Algorithms and Computational Methods)). M.: Energiya, 1980, 640 p.
4. Kurganov S.A., Filaretov V.V. Elektrichestvo – in Russ. (Electricity), 2013, No. 9, pp. 49–55.
5. Skvortsov L.M. Chislennoe reshenie obyknovennyh differentsial'nyh i differentsial'no-algebraicheskih uravneniy (Numerical Solution of Ordinary Differential and Differential Algebraic Equations). М.: DМК Пресс, 2018, 230 p.
6. Sovremennye chislennye metody resheniya obyknovennyh differentsial'nyh uravneniy (Modern Numerical Methods for Solving Ordinary Differential Equations) / By Ed. J. Hall and J. Watt. М.: Mir, 1979, 312 p.
7. Gridin V.N., Mihaylov V.B., Shusterman L.B. Chislenno-analiticheskoe modelirovanie radioelektronnyh skhem (Numerical and Analytical Modeling of Electronic Circuits). М.: Nauka, 2008, 339 p.
8. Burtsev Yu.А. News of higher educational institutions. Electromechanics ‒ in Russ. (News of Higher Educational Institutions. Electromechanics), 2013, No. 4, pp. 8–13.
9. Safarov H.S. et al. Elektrichestvo – in Russ. (Electricity), 2022, No. 4, pp. 40–46.
10. Hayrer E., Nyorsett S., Vanner G. Reshenie obyknovennyh differentsial'nyh uravneniy. Zhestkie i differentsial'no-algebraicheskie zadachi (Solving Ordinary Differential Equations. Rigid and Differential Algebraic Problems). М.: Мir, 1999, 685 p.
11. Rakitskiy Yu.V., Ustinov S.M., Chernorutskiy I.G. Chislen-nye metody resheniya zhestkih sistem (Numerical Methods for Solving Rigid Systems). М.: Наука, 1979, 208 p.
12. Crow M.L., Ilic M.D. The Waveform Relaxation Method for Systems of Differential/Algebraic Equations. – Mathematical and Computer Modelling, 1994, vol. 19(12), pp. 67–84.
13. Artym A.D., Filin V.A., Espolov K.Zh. Novyy metod rascheta protsessov v elektricheskih tsepyah (A New Method for Calculating Processes in Electrical Circuits). SPb.: Elmor, 2001, 192 p.
14. Pilipenko А.М. Gibridnye metody vysokogo poryadka tochnosti dlya chislennogo analiza vo vremennoy oblasti zhestkix i kolebatel'nyx tsepey ‒ in Russ. (Modeling, optimization and information technology), 2017, No. 3(18), pp. 2–13.
15. Gantmaher F.R. Teoriya matrits (Matrix theory). М.: Fizmatlit, 2010, 560 p.
16. Beyker Dzh., Greyvs-Morris P. Approksimatsii Pade (Approximation of the Case). М.: Мir, 1986, 502 p.
17. Tyrtyshnikov Е.Е. Metody chislennogo analiza (Methods of Numerical Analysis). М.: МGU, 2006, 276 p.
18. Tyrtyshnikov Е.Е. Kurs lineynoy algebry (Linear Algebra Course). М.: МGU, 2005, 299 p
